قراءة ممتعة
: مقارنة بين الهندسة الإقليدية و الهندسات اللاالإقليدية
مقدمة الاشكالية
لقد حضيت الرياضيات بمكانة مرموقة عند الرياضيين و الفلاسفة قديما و حديثا لاعتبارات عديدة و اهمها كونها علم قائم بذاته و حاولت كل العلوم الوصول إلى مرتبتها و ذلك لنتائجها الدقيقة . و من العلوم التي يتضمنها نجد علم الهندسة و بالخصوص الهندسة الإقليدية من جهة و الهندسات الاقليديةمن جهة اخرى. فاذا كان الامر كذلك. فماهي الفروقات الموجودة بينهما . و ما طبيعة العلاقة التي تربطهما او تميزهما عن بعضهما البعض ؟
مناقشة حل المشكلة
- أوجه الاختلاف 1
ان الهندسة الإقليدية تختلف عن اللاأقليدية في عدة نقاط . فالمكان الهندسي عند اقليدس واقعي حسي و هو "سطح مستوي وله ثلاث ابعاد هي: طول + عرض + ارتفاع"
اما بخصوص "ريمان" و "لوباتشوفسكي" فمكانهما خيالي افتراضي (مقعر بالنسبة ل لوباتشوفسكي و محدب بالنسبة لريمان). كما انهما تختلفان من حيث النتائج المتوصل اليها . فمثلا عند اقليدس زوايا المثلث 180 درجة . اما الهندسات المعاصرة فهي عند ريمان اكبر من 180 درجة. و اقل من 180 درجة عند لوباتشوفسكي .
نذكر ايض من الاختلافات التأسيسية لهذة الهندسات انه عند اقليدس من نقطة خارج مستقيم يمكن رسم مواز واحد فقط له . اما عند ريمان فلا يمكن رسم اي مستقيم مواز له في حين انه
عند لوباتشوفسكي يمكن رسم مالانهاية من المستقيمات الموازية
لقد كانت الهندسة الإقليدية تميز بين المبادئ الأساسية المنطلق
منها في
عملية البرهنة الرياضية باعتبار أن "البديهية" ليس هي "المسلمة" بل هما مختلفتان . كما انها كانت تقوم على مبادئ ثابتة
اما الهندسة المعاصرة اللااقليدية، فلقد زال هذا التمييز وأصبح غير وارد على الاطلاق، بحيث اصبح الرياضياتي يفترض ماشاء من المسلمات و ذلك من خلال ما يعرف بالنسق. و طبيعة البرهان عند الرياضياتي في هندسة اقليدس عقلي استنتاجي اما في الهندسات الأخرى المعاصرة فهو افتراضي استنتاجي .
-2 أوجه التشابه
رغم الاختلافات الحاصلة بين الهندستين، إلا ان هناك نقاط تشابه بينهما فكل منهما لا تعترفان بالمطلقية لانهما نسبيتان . كما ان الوظيفة العقلية الاستنتاجية تمثل خاصية مشتركة بينهما باعتبارهما يندرجان تحت علم مشترك و هو العلم العقلي الاستنتاجي . وكل من الهندستين تنطلق من مقدمات هندسية هامة تعرف بالمبادئ الرياضياتية وهي على شكل بديهيات ،مسلمات. تعريفات او افتراضات
كما وأن كل منهما تصل الى نتائج رياضية ملزمة من المقدمات المنطلق منها لزوما رياضيا عن طريق مبدأ الاستنتاج . و كل منهما تعتمد لغة الكم و الضبط في التعبير عن مختلف القضايا الرياضياتية
طبيعة العلاقة
هناك نقاط تشابه وتداخل بين الهندستين، فالإقليدية تعد سببا مباشرا و منطلقا حاسما في ظهور الهندسات اللاأقليدية المعاصرة لكون الانطلاقة عند الرياضياتيين المعاصرين كانت من تغيير المكان الواقعي الى مكان تخيلي و من جهة ثانية نقول بان الهندسات المعاصرة انطلقت من النتائج التي وصلت اليها الهندسة الإقليدية
خاتمة
بالرغم من الفروقات الموجودة بين كل من الهندستين، الا ان هذا لا يمنع من وجود علاقة بينهما فهما مترابطتان ومتصلتان فيما بينهما و كل هندسة تبقى صحيحة في اطار النسق الرياضي الذي وردت فيه ، اي ان لا يعتقد البعض منا انهما متعارضتان او متناقضتان ويجب الحكم على خطا احداهما، وانما كل منهما تستخدم في اطارها وشروطها المبدإية
نتمنى اننا قد قربنا المفهومين بعض الشيء وفي حالة اغفالنا لبعض المعطيات المرجو ابلاغنا في التعليقات وسنضيفها ان شاء الله
Comments
Post a Comment